Yuhai Tuの論文を読み解く-02

・式 [4]

式[4]：\( \Large \displaystyle f_t(m,[L]) = N \left[f_m (m) +f_L ([L]) \right] \)

において，彼らは，Monod-Wyman-Changeux (MWC)モデルを使っている，と述べています．

教科書的には，アロステリック，ですね．

なぜ，この部分に，N，がつくかを考えましょう．

ここ，ここ，でも説明しましたが，もう一度．

・二状態モデル

まずは単純な二状態モデル．

\( \Large \ce{A <=>C[k_{+} L][k_{-}] AL} \)

保存則から，

\( \Large A +AL = 1 \)　を満たします．平衡状態においては，

\( \Large k_+ \cdot L \cdot A = k_- AL \)

\( \Large \displaystyle K = \frac{k_-}{k_+} = \frac{A \cdot L}{AL} = \frac{A \cdot L}{1-A} \)

\( \Large \displaystyle A \cdot L = (1-A) \cdot K \)

\( \Large \displaystyle A = \frac{K}{L+K} = \frac{1}{1+\frac{L}{K}} \)

\( \Large \displaystyle AL = \frac{L}{L+K} = \frac{1}{1+\frac{K}{L}} \)

\( \Large \displaystyle \frac{K}{L} = \frac{A}{AL} = e^{- \Delta E}\)　（自由エネルギー変化は，ここ，）

したがって，

\( \Large \displaystyle A = \frac{1}{1+e^{ \Delta E}} \)

\( \Large \displaystyle AL = \frac{1}{1+e^{- \Delta E}} \)

となります．

・三状態モデル

次は三状態モデル．

\( \Large \ce{A <=>C[k_{+1} L][k_{-1}] AL <=>C[k_{+2} L][k_{-2}] AL^2} \)

保存則から，

\( \Large A +AL + AL^2 = 1 \)　を満たします．平衡状態においては，

\( \Large k_{+1} \cdot L \cdot A = k_{-1} \cdot AL \)

\( \Large k_{+2} \cdot L \cdot AL = k_{-2} \cdot AL^2 \)

解離定数は，

\( \Large \displaystyle K_1 = \frac{k_{-1}}{k_{+1}} = \frac{A \cdot L}{AL} \)

\( \Large \displaystyle \frac{K_1}{L} = \frac{A }{AL} = e^{- \Delta E_1} \)

\( \Large \displaystyle K_2 = \frac{k_{-2}}{k_{+2}} = \frac{AL \cdot L}{AL^2} \)

\( \Large \displaystyle \frac{K_2}{L} = \frac{AL }{AL^2} = e^{- \Delta E_2} \)

\( \Large \displaystyle K_1 K_2= \frac{A \cdot L}{AL} \frac{AL \cdot L}{AL^2} = \frac{A \cdot L^2}{AL^2} \)

ここで，\( \Large \displaystyle k_1 <<k_2 \)，とすると中間状態がほとんど存在しなくなるので，\( \Large \displaystyle AL \approx 0 \)，とすることができます．

最終状態，AL²，の割合は，

\( \Large \displaystyle \frac{AL^2}{A + AL + AL^2} \approx \frac{AL^2}{A + AL^2} \)

\( \Large \displaystyle = \frac{AL^2}{ \frac{K_1 K_2 \cdot AL^2}{L^2} + AL^2} = \frac{1}{ \frac{K_1 K_2 }{L^2} + 1} = \frac{1}{1 + e^{- \Delta E_1} e^{- \Delta E_2}} \)

ここで，

\( \Large \displaystyle \Delta E \equiv \frac{ \Delta E_1 + E_2}{2} \)，とすると，

\( \Large \displaystyle p(AL^2) = \frac{AL^2}{A + AL^2} = \frac{1}{1+e^{-2 \Delta E}}\)

と指数の中に，2，が入ります．

・N状態モデル

Nステップの場合は，同様の計算から，

\( \Large \displaystyle p(AL^N) = \frac{1}{1+e^{-N \Delta E}}\)

となることが分かります．

次は，式番号がついていない式です．